Örneğin 2. derece B-spline bir eğri için 3 kontrol noktası ve 6 elemandan oluşan knot dizisi doğrudur
ve fonksiyon kullanılarak verilen knot dizisi aralığındaki t parametreleri girdi olduğunda uzayda 3
boyutlu bir nokta üretilir. \(C(t) = \vec{P}(x,y,z)\) elde edilir.
Derece p = 2. Kontrol noktaları dizisi: \[ \vec{C_0} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 1.2 \\ 3.1
\end{pmatrix} \]
\[ \vec{C_1} = \begin{pmatrix} -1.3 \\ 1.4 \\ 3.1 \end{pmatrix} \]
\[ \vec{C_2} = \begin{pmatrix} -1.6 \\ 1.6 \\3.1 \end{pmatrix} \]
knot dizisi: { 0, 0, 0, 1, 1, 1 }
Yukarıdaki örneğe kontrol noktası kadar ağırlık sayısı içeren bir dizi eklenebilir.
w = {
2.0, 1.5, 2.0 }
gibi. Bu durumda B-spline eğrinin ismi rasyonel B-spline eğrisi olarak
değişir. (ratio - oransal) Bu ağırlık katsayıları kullanılmadan daire, elips gibi şekiller B-spline
matematiği ile elde edilemez. Knot dizisi aralıkları sürekli eşit olursa buna uniform sıfatı
verilir. Yine daire, parabol, elips gibi şekiller ve çoğu geometrik şekil için non-uniform parametre
aralıkları kullanılmalıdır. Knot dizisinde arka arkaya aynı t parametresi olabilir ya da aralıkların
uzunlukları değişebilir. Bütün bu özellikleri ifade eden NURBS kısaltması
non-uniform rational B-spline eğri ve yüzeyler için kullanılır.
Aşağıdaki resimde mavi çizgilerin uçlarındaki noktalar kontrol noktalarıdır, 3. derece
non-uniform rasyonel B-spline eğrinin bütün noktaları siyah eğriyi oluşturur.
Bir eğri ya da yüzeyin sonsuz noktalarını tanımlayan matematik model ne olursa olsun ekran kartları
çizim yapmak için genelde temel konveks geometri kullanır. Arka arkaya çizgiler ile polylineler,
üçgen dizileri gibi ilkel veri tiplerini yazılımlar belli toleranslar (çözünürlükler) ile üretir.
Yukarıdaki NURBS eğrinin daha düşük çözünürlük ile sayısallaştırıldığı çizim.
Kontrol noktalarının değişimi ile şekiller değişir.
NURBS eğriler robotik sistemlerde hareket yörüngelerinin tanımı , yazı fontlarının ölçeklenebilir
modellerinin
kayıt edilmesi , sınır temsili ”boundary representation” modellemede yüzeylerin limitlerini yani
kenar eğrilerini
tanımlamak gibi bir çok uygulamada kullanılabilir. C(0) süreklilik noktasal sürekliliği , C(1)
süreklilik teğet
doğrultusundaki değişikliğin sürekliliğini , C(2) ise teğetin türevinin değişimindeki sürekliliği
ifade etmek için
kullanılır. NURBS eğriler ile yüksek süreklilik gerektiren modeller oluşturulabilir. Bu süreklilik
örneğin bir
robot ya da bir makinede farklı motorları sürerek elde edilen takım ucu yörüngesi için
kullanıldığında titreşimler
azalır , enerji kullanım verimliliği artar. Ya da üzerinden akışkanın geçtiği bir pervanenin yüzey
modelinde yüksek
süreklilik istenilebilir. Bu tip modellemelerde noktasal konumun türevi hızı , hızın türevide doğal
olarak ivmeyi gösterir.
NURBS eğriler bir tane t parametresi ile nokta üretirken NURBS yüzeylerde u,v olarak isimlendirilen
iki parametre ile nokta üretilir. Kontrol noktaları grid-ızgara yapısı şeklinde iki boyutlu bir dizi
ile verilir P(i,j) i [0,m] aralığında j [0,n] aralığında bir indeks sayısıdır.
Kontrol noktaları sayısı u parametresi yönünde m+1 , v parametresi yönünde n+1 adet olur.
Spline polynom fonksiyon derecesi u yönünde p , v yönünde q sayısı ile verilir. Knot dizileri olarak
verilen u,v aralıkları iki ayrı dizi ile tanımlanır. Opsiyonel olarak rasyonel yüzeylerde ağırlıklar
kontrol noktaları gibi iki boyutlu dizi ile tanımlanır. W(i,j)
Derece , kontrol noktası , ağırlıklar ve knot sayıları arasındaki formüller tek boyuttaki eğri ile
aynı şekilde iki ayrı u,v doğrultuları için ayrı ayrı hesaplanabilir.
